Persoalan sama ada masalah penghentian mesin Turing boleh diputuskan adalah isu asas dalam bidang sains komputer teori, terutamanya dalam domain teori kerumitan pengiraan dan kebolehtetapan. Masalah pemberhentian ialah masalah keputusan yang boleh dinyatakan secara tidak rasmi seperti berikut: diberi penerangan tentang mesin Turing dan input, tentukan sama ada mesin Turing akhirnya akan berhenti apabila dijalankan dengan input itu, atau sama ada ia akan berjalan selama-lamanya.
Untuk menangani kebolehtetapan masalah terhenti, adalah penting untuk memahami konsep kebolehtetapan itu sendiri. Sesuatu masalah dikatakan boleh diputuskan jika wujud algoritma yang boleh memberikan jawapan ya-atau-tidak yang betul untuk setiap contoh masalah dalam tempoh masa yang terhad. Sebaliknya, masalah tidak dapat diputuskan jika tiada algoritma sedemikian wujud.
Masalah terhenti pertama kali diperkenalkan dan terbukti tidak dapat diputuskan oleh Alan Turing pada tahun 1936. Bukti Turing adalah contoh klasik hujah penjuru dan melibatkan penggunaan rujukan dan percanggahan yang bijak. Buktinya boleh digariskan seperti berikut:
1. Andaian Kebolehtetapan: Anggapkan, demi percanggahan, terdapat mesin Turing ( H ) yang boleh memutuskan masalah terhenti. Iaitu, ( H ) mengambil sebagai input sepasang ( (M, w) ), di mana ( M ) ialah perihalan mesin Turing dan ( w ) ialah rentetan input, dan ( H(M, w) ) mengembalikan " ya" jika ( M ) berhenti pada ( w ) dan "tidak" jika ( M ) tidak berhenti pada ( w ).
2. Pembinaan Mesin Paradoks: Menggunakan ( H ), bina mesin Turing ( D ) baharu yang mengambil satu input ( M ) (penerangan mesin Turing) dan berkelakuan seperti berikut:
– ( D(M) ) berjalan ( H(M, M) ).
– Jika ( H(M, M) ) mengembalikan "tidak", maka ( D(M) ) berhenti.
– Jika ( H(M, M) ) mengembalikan "ya", maka ( D(M) ) memasuki gelung tak terhingga.
3. Rujukan Diri dan Percanggahan: Pertimbangkan tingkah laku ( D ) apabila ia diberi penerangan sendiri sebagai input. Biarkan ( d ) ialah keterangan bagi ( D ). Kami kemudian mempunyai dua kes:
– Jika ( D(d) ) terhenti, maka menurut takrifan ( D ), ( H(d, d) ) mesti mengembalikan "tidak", yang bermaksud ( D(d) ) tidak boleh berhenti—percanggahan.
– Jika ( D(d) ) tidak berhenti, maka menurut takrifan ( D ), ( H(d, d) ) mesti mengembalikan "ya", yang bermaksud ( D(d) ) harus berhenti—sekali lagi, percanggahan .
Memandangkan kedua-dua kes membawa kepada percanggahan, andaian awal bahawa ( H ) wujud mestilah palsu. Oleh itu, masalah terhenti tidak dapat diputuskan.
Bukti ini menunjukkan bahawa tiada algoritma umum yang boleh menyelesaikan masalah pemberhentian untuk semua mesin dan input Turing yang mungkin. Ketidakpastian masalah terhenti mempunyai implikasi yang mendalam untuk had pengiraan dan perkara yang boleh ditentukan secara algoritma. Ia menunjukkan bahawa terdapat batasan yang wujud untuk perkara yang boleh dikira, dan beberapa masalah adalah di luar jangkauan mana-mana algoritma.
Untuk menggambarkan lebih lanjut implikasi masalah terhenti, pertimbangkan contoh berikut:
- Pengesahan Program: Seseorang mungkin ingin mengesahkan bahawa program tertentu ditamatkan untuk semua input yang mungkin. Disebabkan ketidakpastian masalah pemberhentian, adalah mustahil untuk mencipta pengesah program tujuan umum yang boleh menentukan, untuk setiap program dan input yang mungkin, sama ada program akan dihentikan.
- Analisis Keselamatan: Dalam keselamatan siber, seseorang mungkin ingin menganalisis sama ada sekeping perisian hasad akhirnya akan berhenti melaksanakan. Ketidakpastian masalah pemberhentian membayangkan bahawa tidak ada algoritma umum yang boleh menentukan sama ada mana-mana perisian hasad tertentu akan dihentikan.
- Bukti Matematik: Masalah terhenti adalah berkaitan dengan teorem ketidaklengkapan Gödel, yang menyatakan bahawa dalam mana-mana sistem formal yang cukup berkuasa, terdapat pernyataan benar yang tidak dapat dibuktikan dalam sistem. Ketidakpastian masalah terhenti menunjukkan bahawa terdapat persoalan tentang kelakuan algoritma yang tidak dapat dijawab dalam rangka kerja pengiraan algoritma.
Ketidakpastian masalah terhenti juga membawa kepada konsep kebolehurangan dalam teori kerumitan pengiraan. Masalah ( A ) dikatakan boleh dikurangkan kepada masalah ( B ) jika penyelesaian kepada ( B ) boleh digunakan untuk menyelesaikan ( A ). Jika masalah terhenti boleh diputuskan, maka banyak masalah lain yang tidak dapat diputuskan juga boleh diputuskan dengan mengurangkan kepada masalah terhenti. Walau bagaimanapun, oleh kerana masalah terhenti tidak dapat diputuskan, sebarang masalah yang boleh dikurangkan kepada masalah terhenti juga tidak dapat diputuskan.
Masalah terhenti mesin Turing tidak dapat diputuskan. Keputusan ini merupakan asas sains komputer teori dan mempunyai implikasi yang meluas untuk pemahaman kita tentang pengiraan, had algoritma dan sifat kebenaran matematik.
Soalan dan jawapan terbaru lain mengenai Kerentanan:
- Bolehkah pita dihadkan kepada saiz input (yang bersamaan dengan kepala mesin turing dihadkan untuk bergerak melebihi input pita TM)?
- Apakah yang dimaksudkan untuk variasi Mesin Turing yang berbeza menjadi setara dalam keupayaan pengkomputeran?
- Bolehkah bahasa yang boleh dikenal pasti membentuk subset bahasa yang boleh diputuskan?
- Jika kita mempunyai dua TM yang menerangkan bahasa yang boleh diputuskan adakah soalan kesetaraan masih belum dapat diputuskan?
- Bagaimanakah masalah penerimaan untuk automata sempadan linear berbeza daripada mesin Turing?
- Berikan satu contoh masalah yang boleh diputuskan oleh automaton sempadan linear.
- Terangkan konsep kebolehtetapan dalam konteks automata sempadan linear.
- Bagaimanakah saiz pita dalam automata sempadan linear mempengaruhi bilangan konfigurasi yang berbeza?
- Apakah perbezaan utama antara automata sempadan linear dan mesin Turing?
- Terangkan proses menukar mesin Turing kepada satu set jubin untuk PCP, dan cara jubin ini mewakili sejarah pengiraan.
Lihat lebih banyak soalan dan jawapan dalam Kebolehtetapan