Adakah P dan NP sebenarnya adalah kelas kerumitan yang sama?

Persoalan sama ada P sama dengan NP adalah salah satu masalah yang paling mendalam dan tidak dapat diselesaikan dalam sains komputer dan matematik. Masalah ini terletak di tengah-tengah teori kerumitan pengiraan, bidang yang mengkaji kesukaran wujud masalah pengiraan dan mengklasifikasikannya mengikut sumber yang diperlukan untuk menyelesaikannya.

Untuk memahami soalan, adalah penting untuk memahami definisi kelas P dan NP. Kelas P terdiri daripada masalah keputusan (masalah dengan jawapan ya/tidak) yang boleh diselesaikan oleh mesin Turing yang menentukan dalam masa polinomial. Masa polinomial membayangkan bahawa masa yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah boleh dinyatakan sebagai fungsi polinomial saiz input. Contoh masalah dalam P termasuk menyusun senarai nombor (yang boleh dilakukan dalam masa O(n log n) menggunakan algoritma yang cekap seperti mergesort) dan mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer menggunakan algoritma Euclidean (yang berjalan dalam O(log). (min(a, b))) masa).

Kelas NP, sebaliknya, terdiri daripada masalah keputusan yang mana penyelesaian yang diberikan boleh disahkan dalam masa polinomial oleh mesin Turing yang menentukan. Ini bermakna jika seseorang menyediakan penyelesaian calon kepada masalah itu, seseorang boleh menyemak ketepatannya dengan cekap. Yang penting, NP tidak semestinya membayangkan bahawa masalah itu sendiri boleh diselesaikan dalam masa polinomial, cuma penyelesaian yang dicadangkan boleh disahkan dengan cepat. Contoh masalah dalam NP termasuk masalah kepuasan Boolean (SAT), di mana seseorang berusaha untuk menentukan sama ada wujud penetapan nilai kebenaran kepada pembolehubah yang menjadikan formula Boolean yang diberikan benar, dan masalah kitaran Hamiltonian, yang bertanya sama ada wujud kitaran yang melawati setiap bucu graf tepat sekali.

Soalan P vs NP menanyakan sama ada setiap masalah yang penyelesaiannya boleh disahkan dalam masa polinomial (iaitu, setiap masalah dalam NP) juga boleh diselesaikan dalam masa polinomial (iaitu, dalam P). Secara formal, persoalannya ialah sama ada P = NP. Jika P adalah sama dengan NP, ia akan membayangkan bahawa setiap masalah yang penyelesaiannya boleh disahkan dengan cepat juga boleh diselesaikan dengan cepat. Ini akan mempunyai implikasi yang mendalam untuk bidang seperti kriptografi, pengoptimuman dan kecerdasan buatan, kerana banyak masalah yang sukar diatasi pada masa ini berpotensi menjadi boleh diselesaikan dengan cekap.

Walaupun berdekad penyelidikan, soalan P vs NP tetap terbuka. Belum ada sesiapa yang dapat membuktikan sama ada P = NP atau P ≠ NP. Kesukaran masalah ini digariskan oleh kemasukannya sebagai salah satu daripada tujuh "Masalah Hadiah Milenium" oleh Institut Matematik Tanah Liat, dengan hadiah $1 juta untuk penyelesaian yang betul. Kekurangan resolusi telah membawa kepada perkembangan yang ketara dalam kedua-dua teori dan sains komputer gunaan.

Salah satu konsep utama yang berkaitan dengan soalan P vs NP ialah NP-kelengkapan. Masalah adalah NP-lengkap jika ia dalam NP dan sekeras mana-mana masalah dalam NP, dalam erti kata bahawa sebarang masalah NP boleh dikurangkan kepadanya menggunakan pengurangan masa polinomial. Konsep NP-completeness telah diperkenalkan oleh Stephen Cook dalam kertas seminal 1971, di mana beliau membuktikan bahawa masalah SAT adalah NP-complete. Keputusan ini, yang dikenali sebagai teorem Cook, adalah terobosan kerana ia memberikan contoh konkrit masalah lengkap NP dan mewujudkan rangka kerja untuk mengenal pasti masalah lengkap NP lain.

Sejak itu, banyak masalah lain telah ditunjukkan sebagai NP-lengkap, seperti masalah jurujual perjalanan, masalah clique, dan masalah ransel. Kepentingan kelengkapan NP ialah jika sebarang masalah lengkap NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, maka setiap masalah dalam NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, membayangkan P = NP. Sebaliknya, jika sebarang masalah NP-lengkap tidak dapat diselesaikan dalam masa polinomial, maka P ≠ NP.

Untuk menggambarkan konsep NP-kelengkapan, pertimbangkan masalah jurujual perjalanan (TSP). Dalam masalah ini, seorang jurujual mesti melawat satu set bandar, setiap satu tepat sekali, dan kembali ke bandar permulaan, dengan matlamat untuk meminimumkan jumlah jarak perjalanan. Versi keputusan TSP bertanya sama ada wujud lawatan ke bandar dengan jumlah jarak kurang daripada atau sama dengan nilai tertentu. Masalah ini adalah dalam NP kerana, memandangkan cadangan lawatan, seseorang boleh dengan mudah mengesahkan dalam masa polinomial sama ada lawatan itu memenuhi kekangan jarak. Selain itu, TSP adalah NP-lengkap kerana sebarang masalah dalam NP boleh diubah menjadi contoh TSP dalam masa polinomial.

Contoh lain ialah masalah klik, yang menanyakan sama ada graf tertentu mengandungi subgraf lengkap (klik) dengan saiz yang ditentukan. Masalah ini adalah dalam NP kerana, memandangkan satu klik calon, seseorang boleh mengesahkan dalam masa polinomial sama ada ia adalah satu rumpun saiz yang diperlukan. Masalah rumpun juga NP-lengkap, bermakna menyelesaikannya dengan cekap akan membayangkan bahawa semua masalah NP boleh diselesaikan dengan cekap.

Kajian P vs NP dan NP-kelengkapan telah membawa kepada pembangunan pelbagai teknik dan alat dalam sains komputer teori. Satu teknik sedemikian ialah konsep pengurangan masa polinomial, yang digunakan untuk menunjukkan bahawa satu masalah adalah sekurang-kurangnya sekeras yang lain. Pengurangan masa polinomial daripada masalah A kepada masalah B ialah penjelmaan yang menukarkan kejadian A kepada kejadian B dalam masa polinomial, supaya penyelesaian kepada kejadian B yang diubah boleh digunakan untuk menyelesaikan kejadian asal A. Jika masalah A boleh dikurangkan kepada masalah B dalam masa polinomial, dan B boleh diselesaikan dalam masa polinomial, maka A juga boleh diselesaikan dalam masa polinomial.

Satu lagi konsep penting ialah tanggapan algoritma penghampiran, yang menyediakan penyelesaian hampir optimum kepada masalah NP-keras (masalah yang sekurang-kurangnya sekeras masalah NP-lengkap) dalam masa polinomial. Walaupun algoritma ini tidak semestinya mencari penyelesaian optimum yang tepat, ia menawarkan pendekatan praktikal untuk menangani masalah yang sukar diatasi dengan menyediakan penyelesaian yang hampir dengan yang terbaik. Sebagai contoh, masalah jurujual perjalanan mempunyai algoritma penghampiran terkenal yang menjamin lawatan dalam faktor 1.5 daripada lawatan optimum untuk TSP metrik (di mana jarak memenuhi ketaksamaan segi tiga).

Implikasi menyelesaikan soalan P vs NP melangkaui sains komputer teori. Dalam kriptografi, banyak skim penyulitan bergantung pada kekerasan masalah tertentu, seperti pemfaktoran integer dan logaritma diskret, yang dipercayai dalam NP tetapi tidak dalam P. Jika P sama dengan NP, masalah ini berpotensi diselesaikan dengan cekap, menjejaskan keselamatan sistem kriptografi. Sebaliknya, membuktikan P ≠ NP akan menyediakan asas yang lebih kukuh untuk keselamatan sistem tersebut.

Dalam pengoptimuman, banyak masalah dunia nyata, seperti penjadualan, penghalaan, dan peruntukan sumber, dimodelkan sebagai masalah NP-hard. Jika P adalah sama dengan NP, ini bermakna algoritma yang cekap boleh dibangunkan untuk menyelesaikan masalah ini secara optimum, membawa kepada kemajuan yang ketara dalam pelbagai industri. Walau bagaimanapun, andaian semasa bahawa P ≠ NP telah membawa kepada pembangunan algoritma heuristik dan penghampiran yang menyediakan penyelesaian praktikal kepada masalah ini.

Soalan P vs NP juga mempunyai implikasi falsafah, kerana ia menyentuh sifat kebenaran matematik dan had pengetahuan manusia. Jika P adalah sama dengan NP, ia akan membayangkan bahawa setiap pernyataan matematik dengan bukti pendek boleh ditemui dengan cekap, berpotensi merevolusikan proses penemuan matematik. Sebaliknya, jika P ≠ NP, ia akan mencadangkan bahawa terdapat had yang wujud untuk perkara yang boleh dikira dan disahkan dengan cekap, menonjolkan kerumitan dan kekayaan struktur matematik.

Walaupun kekurangan jawapan muktamad kepada soalan P vs NP, penyelidikan yang mengelilinginya telah membawa kepada pemahaman yang lebih mendalam tentang kerumitan pengiraan dan pembangunan pelbagai teknik dan alatan yang mempunyai kesan mendalam terhadap sains komputer. Usaha untuk menyelesaikan soalan ini terus memberi inspirasi dan mencabar para penyelidik, memacu kemajuan dalam bidang dan mengembangkan pemahaman kami tentang had asas pengiraan.

Soalan dan jawapan terbaru lain mengenai kerumitan:

• Adakah kelas PSPACE tidak sama dengan kelas EXPSPACE?
• Adakah kelas kerumitan P subset kelas PSPACE?
• Bolehkah kita membuktikan bahawa kelas Np dan P adalah sama dengan mencari penyelesaian polinomial yang cekap untuk sebarang masalah lengkap NP pada TM yang menentukan?
• Bolehkah kelas NP sama dengan kelas EXPTIME?
• Adakah terdapat masalah dalam PSPACE yang tiada algoritma NP yang diketahui?
• Bolehkah masalah SAT menjadi masalah lengkap NP?
• Bolehkah masalah berada dalam kelas kerumitan NP jika terdapat mesin turing bukan deterministik yang akan menyelesaikannya dalam masa polinomial
• NP ialah kelas bahasa yang mempunyai pengesah masa polinomial
• Adakah setiap bahasa bebas konteks dalam kelas kerumitan P?
• Adakah terdapat percanggahan antara takrifan NP sebagai kelas masalah keputusan dengan pengesah masa polinomial dan fakta bahawa masalah dalam kelas P juga mempunyai pengesah masa polinomial?

Lihat lebih banyak soalan dan jawapan dalam Kerumitan

Lebih banyak soalan dan jawapan:

• Bidang: Keselamatan siber
• program: Asas Teori Kerumitan Pengiraan EITC/IS/CCTF (pergi ke program pensijilan)
• Pelajaran: kerumitan (pergi ke pelajaran yang berkaitan)
• Topic: NP-kelengkapan (pergi ke topik yang berkaitan)