Bagaimanakah parameter b dalam regresi linear (pintasan-y bagi garisan paling sesuai) dikira?

/ / Disiarkan dalam Kepintaran Buatan, Pembelajaran Mesin EITC/AI/MLP dengan Python, Regresi, Memahami regresi

Dalam konteks regresi linear, parameter b (biasanya dirujuk sebagai pintasan-y bagi garisan paling sesuai) ialah komponen penting dalam persamaan linear y = m x + b, Di mana m mewakili kecerunan garisan. Soalan anda berkaitan dengan hubungan antara pintasan-y b, cara pembolehubah bersandar y dan pembolehubah bebas x, dan cerun m.

Untuk menangani pertanyaan, kita perlu mempertimbangkan terbitan persamaan regresi linear. Regresi linear bertujuan untuk memodelkan hubungan antara pembolehubah bersandar y dan satu atau lebih pembolehubah tidak bersandar x dengan memasangkan persamaan linear kepada data yang diperhatikan. Dalam regresi linear mudah, yang melibatkan pembolehubah peramal tunggal, hubungan dimodelkan oleh persamaan:

    \[ y = mx + b \]

Di sini, m (cerun) dan b (pintasan-y) ialah parameter yang perlu ditentukan. cerun m menunjukkan perubahan dalam y untuk pertukaran satu unit dalam x, manakala pintasan-y b mewakili nilai y apabila x adalah sifar.

Untuk mencari parameter ini, kami biasanya menggunakan kaedah kuasa dua terkecil, yang meminimumkan jumlah perbezaan kuasa dua antara nilai yang diperhatikan dan nilai yang diramalkan oleh model. Kaedah ini menghasilkan formula berikut untuk cerun m dan pintasan-y b:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

Di sini, \bar{x} and \bar{y} adalah cara untuk x and y nilai, masing-masing. Istilah \jumlah{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} mewakili kovarians bagi x and y, Manakala \jumlah{(x_i - \bar{x})^2} mewakili varians daripada x.

Formula untuk pintasan-y b boleh difahami seperti berikut: sekali cerun m ditentukan, pintasan-y b dikira dengan mengambil min bagi y nilai dan menolak hasil darab cerun m dan min bagi x nilai. Ini memastikan bahawa garis regresi melalui titik (\bar{x}, \bar{y}), iaitu pusat bagi titik data.

Untuk menggambarkan ini dengan contoh, pertimbangkan set data dengan nilai berikut:

    \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 6 \\ \hline \end{array} \]

Pertama, kita mengira cara x and y:

    \[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3 \]

    \[ \bar{y} = \frac{2 + 3 + 5 + 4 + 6}{5} = 4 \]

Seterusnya, kami mengira cerun m:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ = \frac{(1-3)(2-4) + (2-3)(3-4) + (3-3)(5-4) + (4-3)(4-4) + (5-3)(6-4)}{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^ 2} \]

    \[ = \frac{(-2)(-2) + (-1)(-1) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(2)}{(-2) ^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2} \]

    \[ = \frac{4 + 1 + 0 + 0 + 4}{4 + 1 + 0 + 1 + 4} \]

    \[ = \frac{9}{10} = 0.9 \]

Akhir sekali, kita mengira pintasan-y b:

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

    \[ = 4 - 0.9 \kali 3 \]

    \[ = 4 - 2.7 \]

    \[ = 1.3 \]

Oleh itu, persamaan regresi linear untuk dataset ini ialah:

    \[ y = 0.9x + 1.3 \]

Contoh ini menunjukkan bahawa pintasan-y b memang sama dengan min semua y nilai tolak hasil darab cerun m dan maksud semua x nilai, yang sejajar dengan formula b = \bar{y} - m\bar{x}.

Adalah penting untuk diperhatikan bahawa pintasan-y b bukan sekadar maksud semua y nilai tambah hasil darab cerun m dan maksud semua x nilai. Sebaliknya, ia melibatkan penolakan hasil darab cerun m dan maksud semua x nilai daripada min semua y nilai-nilai.

Memahami terbitan dan maksud parameter ini adalah penting untuk mentafsir keputusan analisis regresi linear. pintasan-y b menyediakan maklumat berharga tentang tahap asas pembolehubah bersandar y apabila pembolehubah bebas x ialah sifar. cerun m, sebaliknya, menunjukkan arah dan kekuatan hubungan antara x and y.

Dalam aplikasi praktikal, regresi linear digunakan secara meluas untuk pemodelan ramalan dan analisis data. Ia berfungsi sebagai teknik asas dalam pelbagai bidang, termasuk ekonomi, kewangan, biologi, dan sains sosial. Dengan memasang model linear pada data yang diperhatikan, penyelidik dan penganalisis boleh membuat ramalan, mengenal pasti arah aliran dan mendedahkan hubungan antara pembolehubah.

Python, bahasa pengaturcaraan popular untuk sains data dan pembelajaran mesin, menyediakan beberapa perpustakaan dan alatan untuk melaksanakan regresi linear. Pustaka `scikit-learn`, sebagai contoh, menawarkan pelaksanaan regresi linear yang mudah melalui kelas `LinearRegression`nya. Berikut ialah contoh cara melakukan regresi linear menggunakan `scikit-learn` dalam Python:

python
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape((-1, 1))
y = np.array([2, 3, 5, 4, 6])

# Create and fit the model
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)

# Get the slope (m) and y-intercept (b)
m = model.coef_[0]
b = model.intercept_

print(f"Slope (m): {m}")
print(f"Y-intercept (b): {b}")

Dalam contoh ini, kelas `LinearRegression` digunakan untuk mencipta model regresi linear. Kaedah `fit` dipanggil untuk melatih model pada data sampel, dan atribut `coef_` dan `intercept_` digunakan untuk mendapatkan semula cerun dan pintasan-y.

pintasan-y b dalam regresi linear tidak sama dengan min semua y nilai tambah hasil darab cerun m dan maksud semua x nilai. Sebaliknya, ia adalah sama dengan min semua y nilai tolak hasil darab cerun m dan maksud semua x nilai, seperti yang diberikan oleh formula b = \bar{y} - m\bar{x}.

Soalan dan jawapan terbaru lain mengenai Pembelajaran Mesin EITC/AI/MLP dengan Python:

Lihat lebih banyak soalan dan jawapan dalam Pembelajaran Mesin EITC/AI/MLP dengan Python

Lebih banyak soalan dan jawapan:

Tagged under: , , , , ,